Медресе Кукельдаш, расположенное в Старом городе недалеко от базара Чорсу, построено в 1570 году в эпоху правления династии Шейбанидов. Руководил его строительством визирь Барак-хана и Дервиш-хана, получивший за свою близость к правителям прозвище «Кукельдаш» (молочный брат). Медресе назвали в его честь. Оно стало не только учебным заведением, но и частью ансамбля главной городской площади.
Здание медресе могло соперничать красотой художественной облицовки и обилием небесно-голубой майолики с лучшими произведениями зодчих Самарканда и Бухары. Однако многочисленные землетрясения в XIX веке, реставрации и безразличие в период экономического упадка полностью изменили первоначальный облик строения.
Медресе неоднократно приходило в упадок и использовалось не по назначению. Например, в XVII веке в нем располагался караван-сарай.
В советский период в середине XX века здесь располагались выставка, посвященная атеистическому образу жизни, а затем экспозиция национальных инструментов Узбекистана.